Содержание шпоры по математическому анализу:
Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn.
Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обратная функция.
Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах.
Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имеющей конечный предел при х? а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах.
Теорема о пределе сложной функции.
Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.
Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.
Теорема о непрерывности сложной функции.
Теорема о непрерывности обратной функции.
Непрерывность элементарных функций.
Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда
Свойства сходящихся рядов.
Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
Признаки Даламбера и Коши.
Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов
Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Ряды с комплексными членами.
Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.
Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Параметрическое дифференцирование.
Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.
Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.
Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
Теорема Коши.
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.
Признак монотонности функции.
Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.
Выпуклость и точки перегиба.
Асимптоты.
Первообразная и ее свойства.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование иррациональностей.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции
Свойства определенного интеграла,
Теорема о среднем.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
Формула Ньютона - Лейбница
Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Площадь плоской фигуры.
Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.
Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.
Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn.
Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обратная функция.
Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах.
Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имеющей конечный предел при х? а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах.
Теорема о пределе сложной функции.
Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.
Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.
Теорема о непрерывности сложной функции.
Теорема о непрерывности обратной функции.
Непрерывность элементарных функций.
Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда
Свойства сходящихся рядов.
Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
Признаки Даламбера и Коши.
Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов
Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Ряды с комплексными членами.
Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.
Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Параметрическое дифференцирование.
Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.
Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.
Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
Теорема Коши.
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.
Признак монотонности функции.
Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.
Выпуклость и точки перегиба.
Асимптоты.
Первообразная и ее свойства.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование иррациональностей.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции
Свойства определенного интеграла,
Теорема о среднем.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
Формула Ньютона - Лейбница
Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Площадь плоской фигуры.
Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.
Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.
